MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdgxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzrdgxfr 12952
Description: Transfer the value of the recursive sequence builder from one base to another. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzrdgxfr.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
uzrdgxfr.2 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
uzrdgxfr.3 𝐴 ∈ ℤ
uzrdgxfr.4 𝐵 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzrdgxfr (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uzrdgxfr
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6344 . . 3 (𝑦 = ∅ → (𝐺𝑦) = (𝐺‘∅))
2 fveq2 6344 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐻𝑦) = (𝐻‘∅))
32oveq1d 6820 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)))
41, 3eqeq12d 2767 . 2 (𝑦 = ∅ → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))))
5 fveq2 6344 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑘))
6 fveq2 6344 . . . 4 (𝑦 = 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑘))
76oveq1d 6820 . . 3 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)))
85, 7eqeq12d 2767 . 2 (𝑦 = 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵))))
9 fveq2 6344 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐺𝑦) = (𝐺‘suc 𝑘))
10 fveq2 6344 . . . 4 (𝑦 = suc 𝑘 → (𝐻𝑦) = (𝐻‘suc 𝑘))
1110oveq1d 6820 . . 3 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)))
129, 11eqeq12d 2767 . 2 (𝑦 = suc 𝑘 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
13 fveq2 6344 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑁))
14 fveq2 6344 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑁))
1514oveq1d 6820 . . 3 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
1613, 15eqeq12d 2767 . 2 (𝑦 = 𝑁 → ((𝐺𝑦) = ((𝐻𝑦) + (𝐴𝐵)) ↔ (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵))))
17 uzrdgxfr.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ
18 zcn 11566 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
20 uzrdgxfr.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℤ
21 zcn 11566 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21ax-mp 5 . . . 4 𝐴 ∈ ℂ
2319, 22pncan3i 10542 . . 3 (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴
24 uzrdgxfr.2 . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐵) ↾ ω)
2517, 24om2uz0i 12932 . . . 4 (𝐻‘∅) = 𝐵
2625oveq1i 6815 . . 3 ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵)) = (𝐵 + (𝐴𝐵))
27 uzrdgxfr.1 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐴) ↾ ω)
2820, 27om2uz0i 12932 . . 3 (𝐺‘∅) = 𝐴
2923, 26, 283eqtr4ri 2785 . 2 (𝐺‘∅) = ((𝐻‘∅) + (𝐴𝐵))
30 oveq1 6812 . . 3 ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
3120, 27om2uzsuci 12933 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐺𝑘) + 1))
3217, 24om2uzsuci 12933 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻‘suc 𝑘) = ((𝐻𝑘) + 1))
3332oveq1d 6820 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)))
3417, 24om2uzuzi 12934 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵))
35 eluzelz 11881 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑘) ∈ (ℤ𝐵) → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 11667 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
38 ax-1cn 10178 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
3922, 19subcli 10541 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
40 add32 10438 . . . . . . 7 (((𝐻𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4138, 39, 40mp3an23 1557 . . . . . 6 ((𝐻𝑘) ∈ ℂ → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4237, 41syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (((𝐻𝑘) + 1) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4333, 42eqtrd 2786 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1))
4431, 43eqeq12d 2767 . . 3 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵)) ↔ ((𝐺𝑘) + 1) = (((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) + 1)))
4530, 44syl5ibr 236 . 2 (𝑘 ∈ ω → ((𝐺𝑘) = ((𝐻𝑘) + (𝐴𝐵)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ((𝐻‘suc 𝑘) + (𝐴𝐵))))
464, 8, 12, 16, 29, 45finds 7249 1 (𝑁 ∈ ω → (𝐺𝑁) = ((𝐻𝑁) + (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  c0 4050  cmpt 4873  cres 5260  suc csuc 5878  cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  reccrdg 7666  cc 10118  1c1 10121   + caddc 10123  cmin 10450  cz 11561  cuz 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872
This theorem is referenced by:  fz1isolem  13429
  Copyright terms: Public domain W3C validator