Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzmptshftfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzmptshftfval 38862
Description: When 𝐹 is a maps-to function on some set of upper integers 𝑍 that returns a set 𝐵, (𝐹 shift 𝑁) is another maps-to function on the shifted set of upper integers 𝑊. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzmptshftfval.f 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
uzmptshftfval.b 𝐵 ∈ V
uzmptshftfval.c (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
uzmptshftfval.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
uzmptshftfval.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
uzmptshftfval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
uzmptshftfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
uzmptshftfval (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem uzmptshftfval
StepHypRef Expression
1 uzmptshftfval.b . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2 uzmptshftfval.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑍𝐵)
31, 2fnmpti 6060 . . . . 5 𝐹 Fn 𝑍
4 uzmptshftfval.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 11521 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 uzmptshftfval.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ∈ V
86, 7eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V
98mptex 6527 . . . . . . 7 (𝑥𝑍𝐵) ∈ V
102, 9eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
1110shftfn 13857 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝑍𝑁 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
123, 5, 11sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍})
13 uzmptshftfval.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 shftuz 13853 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
154, 13, 14syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)} = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
166eleq2i 2722 . . . . . . 7 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 ↔ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
1716rabbii 3216 . . . . . 6 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀)}
18 uzmptshftfval.w . . . . . 6 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))
1915, 17, 183eqtr4g 2710 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} = 𝑊)
2019fneq2d 6020 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 shift 𝑁) Fn {𝑦 ∈ ℂ ∣ (𝑦𝑁) ∈ 𝑍} ↔ (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊))
2112, 20mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊)
22 dffn5 6280 . . 3 ((𝐹 shift 𝑁) Fn 𝑊 ↔ (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
2321, 22sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)))
24 uzssz 11745 . . . . . . . 8 (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
2518, 24eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ ℤ
26 zsscn 11423 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
2725, 26sstri 3645 . . . . . 6 𝑊 ⊆ ℂ
2827sseli 3632 . . . . 5 (𝑦𝑊𝑦 ∈ ℂ)
2910shftval 13858 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
305, 28, 29syl2an 493 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = (𝐹‘(𝑦𝑁)))
3118eleq2i 2722 . . . . . . 7 (𝑦𝑊𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁)))
3213, 4jca 553 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
33 eluzsub 11755 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
34333expa 1284 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3532, 34sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝑁))) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3631, 35sylan2b 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
3736, 6syl6eleqr 2741 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝑦𝑁) ∈ 𝑍)
38 uzmptshftfval.c . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑁) → 𝐵 = 𝐶)
3938, 2, 1fvmpt3i 6326 . . . . 5 ((𝑦𝑁) ∈ 𝑍 → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
4037, 39syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑊) → (𝐹‘(𝑦𝑁)) = 𝐶)
4130, 40eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑦𝑊) → ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦) = 𝐶)
4241mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑊 ↦ ((𝐹 shift 𝑁)‘𝑦)) = (𝑦𝑊𝐶))
4323, 42eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝐹 shift 𝑁) = (𝑦𝑊𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  cmpt 4762   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725   shift cshi 13850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-shft 13851
This theorem is referenced by:  dvradcnv2  38863  binomcxplemnotnn0  38872
  Copyright terms: Public domain W3C validator