Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzinico2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinico2 40304
Description: An upper interval of integers is the intersection of a larger upper interval of integers with an upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinico2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
uzinico2 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))

Proof of Theorem uzinico2
StepHypRef Expression
1 inass 3972 . . . 4 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))))
3 incom 3956 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀))
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)))
5 uzssz 11913 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℤ)
7 uzinico2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
86, 7sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 eqid 2771 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
108, 9uzinico 40302 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑁) = (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)))
1110eqcomd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) = (ℤ𝑁))
1211ineq1d 3964 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ ∩ (𝑁[,)+∞)) ∩ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)))
137uzssd 40147 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
14 df-ss 3737 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
1513, 14sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ (ℤ𝑀)) = (ℤ𝑁))
164, 12, 153eqtrd 2809 . . 3 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ ∩ (𝑁[,)+∞))) = (ℤ𝑁))
17 uzssz 11913 . . . . . 6 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
18 df-ss 3737 . . . . . 6 ((ℤ𝑁) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
1917, 18mpbi 220 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (ℤ𝑁))
2120eqcomd 2777 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑁) ∩ ℤ))
222, 16, 213eqtrrd 2810 . 2 (𝜑 → ((ℤ𝑁) ∩ ℤ) = (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)))
23 df-ss 3737 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ ℤ ↔ ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀))
245, 23mpbi 220 . . . 4 ((ℤ𝑀) ∩ ℤ) = (ℤ𝑀)
2524ineq1i 3961 . . 3 (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞))
2625a1i 11 . 2 (𝜑 → (((ℤ𝑀) ∩ ℤ) ∩ (𝑁[,)+∞)) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
2722, 20, 263eqtr3d 2813 1 (𝜑 → (ℤ𝑁) = ((ℤ𝑀) ∩ (𝑁[,)+∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  cfv 6030  (class class class)co 6796  +∞cpnf 10277  cz 11584  cuz 11893  [,)cico 12382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-neg 10475  df-z 11585  df-uz 11894  df-ico 12386
This theorem is referenced by:  uzinico3  40305  limsupvaluz  40455
  Copyright terms: Public domain W3C validator