MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzinfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzinfi 11970
Description: Extract the lower bound of an upper set of integers as its infimum. (Contributed by NM, 7-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinfi.1 𝑀 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
uzinfi inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀

Proof of Theorem uzinfi
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinfi.1 . 2 𝑀 ∈ ℤ
2 ltso 10319 . . . 4 < Or ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → < Or ℝ)
4 zre 11582 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 uzid 11902 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluz2 11893 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
74adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 zre 11582 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
98adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
107, 9lenltd 10384 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑀))
1110biimp3a 1579 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
1211a1d 25 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
136, 12sylbi 207 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑘 < 𝑀))
1413impcom 394 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
153, 4, 5, 14infmin 8555 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀)
161, 15ax-mp 5 1 inf((ℤ𝑀), ℝ, < ) = 𝑀
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784   Or wor 5169  cfv 6031  infcinf 8502  cr 10136   < clt 10275  cle 10276  cz 11578  cuz 11887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-neg 10470  df-z 11579  df-uz 11888
This theorem is referenced by:  nninf  11971  nn0inf  11972
  Copyright terms: Public domain W3C validator