Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzindi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzindi 12821
 Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindi.a (𝜑𝐴𝑉)
uzindi.b (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐿))
uzindi.c ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
uzindi.d (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
uzindi.e (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜃))
uzindi.f (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑆)
uzindi.g (𝑥 = 𝐴𝑅 = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
uzindi (𝜑𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐿   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥   𝑦,𝑅   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uzindi
StepHypRef Expression
1 uzindi.b . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐿))
2 eluzfz2 12387 . . 3 (𝑇 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝐿...𝑇))
4 uzindi.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 fzofi 12813 . . . 4 (𝐿..^𝑇) ∈ Fin
6 finnum 8812 . . . 4 ((𝐿..^𝑇) ∈ Fin → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
75, 6mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝐿..^𝑇) ∈ dom card)
8 simpll 805 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜑)
9 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇))
10 elfzuz3 12377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝑅))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝑇 ∈ (ℤ𝑅))
12 fzoss2 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (ℤ𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿..^𝑇))
13 fzossfz 12527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿..^𝑇) ⊆ (𝐿...𝑇)
1412, 13syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (ℤ𝑅) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝐿..^𝑅) ⊆ (𝐿...𝑇))
1615sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇))
17 fzofi 12813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿..^𝑅) ∈ Fin
18 elfzofz 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → 𝑆 ∈ (𝐿...𝑅))
20 elfzuz3 12377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (𝐿...𝑅) → 𝑅 ∈ (ℤ𝑆))
21 fzoss2 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (ℤ𝑆) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅))
23 fzonel 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)
2423jctr 564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)))
26 ssnelpss 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿..^𝑆) ⊆ (𝐿..^𝑅) → ((𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) ∧ ¬ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑆)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)))
2722, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅))
28 php3 8187 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿..^𝑅) ∈ Fin ∧ (𝐿..^𝑆) ⊊ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
2917, 27, 28sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
3130com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → ((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
3216, 29, 31sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) ∧ 𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒))
3332ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → 𝜒)))
3433com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
3534alimdv 1885 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)))
3635ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
3736com23 86 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))))
3837imp31 447 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒))
39 uzindi.c . . . . . 6 ((𝜑𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ∧ ∀𝑦(𝑆 ∈ (𝐿..^𝑅) → 𝜒)) → 𝜓)
408, 9, 38, 39syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) ∧ 𝑅 ∈ (𝐿...𝑇)) → 𝜓)
4140ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
42413adant2 1100 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿..^𝑅) ≼ (𝐿..^𝑇) ∧ ∀𝑦((𝐿..^𝑆) ≺ (𝐿..^𝑅) → (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒))) → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓))
43 uzindi.f . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑆)
4443eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑆 ∈ (𝐿...𝑇)))
45 uzindi.d . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
4644, 45imbi12d 333 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑆 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜒)))
47 uzindi.g . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑅 = 𝑇)
4847eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) ↔ 𝑇 ∈ (𝐿...𝑇)))
49 uzindi.e . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜃))
5048, 49imbi12d 333 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜓) ↔ (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃)))
5143oveq2d 6706 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑆))
5247oveq2d 6706 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝐿..^𝑅) = (𝐿..^𝑇))
534, 7, 42, 46, 50, 51, 52indcardi 8902 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝐿...𝑇) → 𝜃))
543, 53mpd 15 1 (𝜑𝜃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054  ∀wal 1521   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607   ⊊ wpss 3608   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ≼ cdom 7995   ≺ csdm 7996  Fincfn 7997  cardccrd 8799  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505 This theorem is referenced by:  psgnunilem4  17963
 Copyright terms: Public domain W3C validator