MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzin 11933
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 11921 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2 uzss 11920 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3 sseqin2 3960 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
42, 3sylib 208 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
5 eluzle 11912 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
6 iftrue 4236 . . . . . 6 (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
87fveq2d 6357 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑁))
94, 8eqtr4d 2797 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10 uzss 11920 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁))
11 df-ss 3729 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
1210, 11sylib 208 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
13 eluzel2 11904 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 zre 11593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 zre 11593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
17 letri3 10335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
1815, 16, 17syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
1913, 14, 18syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
20 eluzle 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
2120biantrurd 530 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
2219, 21bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀𝑀𝑁))
2322biimprcd 240 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
246eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀𝑁 = 𝑀))
2523, 24sylibrd 249 . . . . . . 7 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
2625com12 32 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
27 iffalse 4239 . . . . . 6 𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
2826, 27pm2.61d1 171 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
2928fveq2d 6357 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑀))
3012, 29eqtr4d 2797 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
319, 30jaoi 393 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
321, 31syl 17 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cfv 6049  cr 10147  cle 10287  cz 11589  cuz 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900
This theorem is referenced by:  uzin2  14303  explecnv  14816  uzrest  21922
  Copyright terms: Public domain W3C validator