Theorem uzaddcl 11782

Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uzaddcl	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzaddcl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 11737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0cn 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10032	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addass 10061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
5	3, 4	mp3an3 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
6	1, 2, 5	syl2anr 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
8		peano2uz 11779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	7, 9	eqeltrrd 2731	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	10	exp31 629	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
12	11	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
13	1	addid1d 10274	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
14	13	eleq1d 2715	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
15	14	ibir 257	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		oveq2 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 0))
17	16	eleq1d 2715	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
18	17	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
19		oveq2 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝑘))
20	19	eleq1d 2715	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	20	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
22		oveq2 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
23	22	eleq1d 2715	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24	23	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
25		oveq2 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝐾))
26	25	eleq1d 2715	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
27	26	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
28	12, 15, 18, 21, 24, 27	nn0indALT 11511	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
29	28	impcom 445	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℕ₀cn0 11330  ℤ_≥cuz 11725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726

This theorem is referenced by:  elfz0add  12477  zpnn0elfzo  12580  ccatass  13406  ccatrn  13407  swrdccat1  13503  swrdccat2  13504  splfv1  13552  splval2  13554  revccat  13561  relexpaddg  13837  isercoll2  14443  iseraltlem2  14457  iseraltlem3  14458  mertenslem1  14660  eftlub  14883  vdwlem6  15737  gsumccat  17425  efginvrel2  18186  efgredleme  18202  efgcpbllemb  18214  geolim3  24139  jm2.27c  37891  iunrelexpuztr  38328  pfxccat1  41735