MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz11 11923
Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
uz11 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11
StepHypRef Expression
1 uzid 11915 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 eleq2 2829 . . . . . 6 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3 eluzel2 11905 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl6bi 243 . . . . 5 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4mpan9 487 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 11915 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 eleq2 2829 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑁)))
86, 7syl5ibr 236 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
9 eluzle 11913 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
108, 9syl6 35 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀𝑁))
111, 2syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
12 eluzle 11913 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
1311, 12syl6 35 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1410, 13anim12d 587 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
1514impl 651 . . . . . . 7 ((((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1615ancoms 468 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1716anassrs 683 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
18 zre 11594 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19 zre 11594 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 letri3 10336 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2118, 19, 20syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2221adantlr 753 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2317, 22mpbird 247 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
245, 23mpdan 705 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2524ex 449 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26 fveq2 6354 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁))
2725, 26impbid1 215 1 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805  cfv 6050  cr 10148  cle 10288  cz 11590  cuz 11900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-neg 10482  df-z 11591  df-uz 11901
This theorem is referenced by:  fzopth  12592  ulm2  24359  fzoopth  41866
  Copyright terms: Public domain W3C validator