Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz0 39458
Description: The upper integers function applied to a non integer, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
uz0 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)

Proof of Theorem uz0
StepHypRef Expression
1 dmuz 39262 . . . . . 6 dom ℤ = ℤ
21eqcomi 2630 . . . . 5 ℤ = dom ℤ
32eleq2i 2692 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ 𝑀 ∈ dom ℤ)
43notbii 310 . . 3 𝑀 ∈ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ)
54biimpi 206 . 2 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ dom ℤ)
6 ndmfv 6216 . 2 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
75, 6syl 17 1 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  c0 3913  dom cdm 5112  cfv 5886  cz 11374  cuz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-fv 5894  df-ov 6650  df-neg 10266  df-z 11375  df-uz 11685
This theorem is referenced by:  uzn0bi  39508  limsupubuz  39751  climlimsupcex  39801
  Copyright terms: Public domain W3C validator