MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcresum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcresum 20355
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcresum.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcresum.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
uvcresum.v · = ( ·𝑠𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcresum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)))

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 uvcresum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasf 20327 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
543adant1 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
65feqmptd 6413 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
7 eqid 2761 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 simpl1 1228 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
9 ringmnd 18777 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑅 ∈ Mnd)
11 simpl2 1230 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝐼𝑊)
12 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
13 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
145ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1615, 1, 3uvcff 20353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
17163adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
1817ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . . 15 · = ( ·𝑠𝑌)
20 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑅) = (.r𝑅)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 20332 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑈𝑏)))
2214adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
231, 2, 3frlmbasf 20327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2413, 18, 23syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏):𝐼⟶(Base‘𝑅))
2524ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
26 fconstmpt 5321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝐼 × {(𝑋𝑏)}) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
2824feqmptd 6413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑈𝑏) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑈𝑏)‘𝑎)))
2913, 22, 25, 27, 28offval2 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝐼 × {(𝑋𝑏)}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
3021, 29eqtrd 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
311frlmlmod 20316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑌 ∈ LMod)
32313adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
341frlmsca 20320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
35343adant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
3635fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
3814, 37eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
39 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
40 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
413, 39, 19, 40lmodvscl 19103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4233, 38, 18, 41syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) ∈ 𝐵)
4330, 42eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵)
441, 2, 3frlmbasf 20327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑊 ∧ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) ∈ 𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4513, 43, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
46 eqid 2761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))
4746fmpt 6546 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑎𝐼 ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
4845, 47sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) → ∀𝑎𝐼 ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
4948r19.21bi 3071 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏𝐼) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
5049an32s 881 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) ∈ (Base‘𝑅))
51 eqid 2761 . . . . . . . 8 (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))
5250, 51fmptd 6550 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
5383ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑅 ∈ Ring)
54113ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝐼𝑊)
55 simp2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝐼)
56123ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑎𝐼)
57 simp3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → 𝑏𝑎)
5815, 53, 54, 55, 56, 57, 7uvcvv0 20352 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = (0g𝑅))
5958oveq2d 6831 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)))
6014adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
61603adant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
622, 20, 7ringrz 18809 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑏) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
6353, 61, 62syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
6459, 63eqtrd 2795 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) ∧ 𝑏𝐼𝑏𝑎) → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = (0g𝑅))
6564, 11suppsssn 7501 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑎})
662, 7, 10, 11, 12, 52, 65gsumpt 18582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎))
67 fveq2 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → (𝑋𝑏) = (𝑋𝑎))
68 fveq2 6354 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑎 → (𝑈𝑏) = (𝑈𝑎))
6968fveq1d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑈𝑏)‘𝑎) = ((𝑈𝑎)‘𝑎))
7067, 69oveq12d 6833 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
71 ovex 6843 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) ∈ V
7270, 51, 71fvmpt 6446 . . . . . . . 8 (𝑎𝐼 → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
7372adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)))
74 eqid 2761 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7515, 8, 11, 12, 74uvcvv1 20351 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑈𝑎)‘𝑎) = (1r𝑅))
7675oveq2d 6831 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)))
775ffvelrnda 6524 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
782, 20, 74ringridm 18793 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑎) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
798, 77, 78syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑋𝑎))
8076, 79eqtrd 2795 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑋𝑎)(.r𝑅)((𝑈𝑎)‘𝑎)) = (𝑋𝑎))
8173, 80eqtrd 2795 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → ((𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))‘𝑎) = (𝑋𝑎))
8266, 81eqtrd 2795 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑎𝐼) → (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) = (𝑋𝑎))
8382mpteq2dva 4897 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑋𝑎)))
846, 83eqtr4d 2798 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
85 eqid 2761 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
86 simp2 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝐼𝑊)
87 simp1 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
88 mptexg 6650 . . . . . 6 (𝐼𝑊 → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
89883ad2ant2 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V)
90 funmpt 6088 . . . . . 6 Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
9190a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
92 fvexd 6366 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g𝑌) ∈ V)
931, 7, 3frlmbasfsupp 20325 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
94933adant1 1125 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 finSupp (0g𝑅))
9594fsuppimpd 8450 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
9635eqcomd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑅)
9796fveq2d 6358 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g𝑅))
9897oveq2d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) = (𝑋 supp (0g𝑅)))
99 ssid 3766 . . . . . . . . . 10 (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅))
10098, 99syl6eqss 3797 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋 supp (0g‘(Scalar‘𝑌))) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
101 fvexd 6366 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑌)) ∈ V)
1025, 100, 86, 101suppssr 7497 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑋𝑏) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
103102oveq1d 6830 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)))
104 eldifi 3876 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅))) → 𝑏𝐼)
105104, 30sylan2 492 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏)) = (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))
10632adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → 𝑌 ∈ LMod)
107104, 18sylan2 492 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑈𝑏) ∈ 𝐵)
108 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1093, 39, 19, 108, 85lmod0vs 19119 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑏) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
110106, 107, 109syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌)) · (𝑈𝑏)) = (0g𝑌))
111103, 105, 1103eqtr3d 2803 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∖ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))) = (0g𝑌))
112111, 86suppss2 7500 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
113 suppssfifsupp 8458 . . . . 5 ((((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∈ V ∧ Fun (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) ∧ (0g𝑌) ∈ V) ∧ ((𝑋 supp (0g𝑅)) ∈ Fin ∧ ((𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
11489, 91, 92, 95, 112, 113syl32anc 1485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))) finSupp (0g𝑌))
1151, 3, 85, 86, 86, 87, 43, 114frlmgsum 20334 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))) = (𝑎𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
11684, 115eqtr4d 2798 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
1175feqmptd 6413 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑋𝑏)))
11817feqmptd 6413 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑈 = (𝑏𝐼 ↦ (𝑈𝑏)))
11986, 14, 18, 117, 118offval2 7081 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋𝑓 · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))))
12030mpteq2dva 4897 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑏𝐼 ↦ ((𝑋𝑏) · (𝑈𝑏))) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
121119, 120eqtrd 2795 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑋𝑓 · 𝑈) = (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎)))))
122121oveq2d 6831 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)) = (𝑌 Σg (𝑏𝐼 ↦ (𝑎𝐼 ↦ ((𝑋𝑏)(.r𝑅)((𝑈𝑏)‘𝑎))))))
123116, 122eqtr4d 2798 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑌 Σg (𝑋𝑓 · 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  Vcvv 3341  cdif 3713  wss 3716  {csn 4322   class class class wbr 4805  cmpt 4882   × cxp 5265  Fun wfun 6044  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  𝑓 cof 7062   supp csupp 7465  Fincfn 8124   finSupp cfsupp 8443  Basecbs 16080  .rcmulr 16165  Scalarcsca 16167   ·𝑠 cvsca 16168  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  Mndcmnd 17516  1rcur 18722  Ringcrg 18768  LModclmod 19086   freeLMod cfrlm 20313   unitVec cuvc 20344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-uvc 20345
This theorem is referenced by:  frlmsslsp  20358
  Copyright terms: Public domain W3C validator