Theorem uvcf1 20353

Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcf1	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Proof of Theorem uvcf1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 19483	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		uvcff.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
3		uvcff.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		uvcff.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	uvcff 20352	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
6	1, 5	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	nzrnz 19482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10	9	ad3antrrr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
11	1	ad3antrrr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simpllr 817	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝐼 ∈ 𝑊)
13		simplrl 819	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝐼)
14	2, 11, 12, 13, 7	uvcvv1 20350	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = (1r‘𝑅))
15		simplrr 820	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝐼)
16		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ≠ 𝑗)
17	16	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ≠ 𝑖)
18	2, 11, 12, 15, 13, 17, 8	uvcvv0 20351	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) = (0g‘𝑅))
19	10, 14, 18	3netr4d 3009	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
20		fveq1 6352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → ((𝑈‘𝑖)‘𝑖) = ((𝑈‘𝑗)‘𝑖))
21	20	necon3i 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈‘𝑖)‘𝑖) ≠ ((𝑈‘𝑗)‘𝑖) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
22	19, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗))
23	22	ex 449	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑈‘𝑖) ≠ (𝑈‘𝑗)))
24	23	necon4d 2956	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼)) → ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
25	24	ralrimivva 3109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
26		dff13 6676	. 2 ⊢ (𝑈:𝐼–1-1→𝐵 ↔ (𝑈:𝐼⟶𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝐼 ∀𝑗 ∈ 𝐼 ((𝑈‘𝑖) = (𝑈‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
27	6, 25, 26	sylanbrc 701	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ⟶wf 6045  –1-1→wf1 6046  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  0_gc0g 16322  1_rcur 18721  Ringcrg 18767  NzRingcnzr 19479   freeLMod cfrlm 20312   unitVec cuvc 20343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-nzr 19480  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-uvc 20344

This theorem is referenced by:  frlmlbs  20358  uvcf1o  20407