Theorem ustne0 22237

Description: A uniform structure cannot be empty. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustne0	⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ≠ ∅)

Proof of Theorem ustne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ustbasel 22230	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → (𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈)
2		ne0i 4069	. 2 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) ∈ 𝑈 → 𝑈 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) → 𝑈 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063   × cxp 5247  ‘cfv 6031  UnifOncust 22223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-res 5261  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ust 22224

This theorem is referenced by:  utopbas  22259  cstucnd  22308