Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uspgropssxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspgropssxp 42077
Description: The set 𝐺 of "simple pseudographs" for a fixed set 𝑉 of vertices is a subset of an Cartesian product. For more details about the class 𝐺 of all "simple pseudographs" see comments on uspgrbisymrel 42087. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgrsprf.p 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
uspgrsprf.g 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
Assertion
Ref Expression
uspgropssxp (𝑉𝑊𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑞,𝑣   𝑒,𝑉,𝑞,𝑣   𝑒,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑣,𝑒,𝑞)   𝑊(𝑞)

Proof of Theorem uspgropssxp
StepHypRef Expression
1 uspgrsprf.g . 2 𝐺 = {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))}
2 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑉 = 𝑣 → (𝑉𝑊𝑣𝑊))
32eqcoms 2659 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 → (𝑉𝑊𝑣𝑊))
43adantr 480 . . . 4 ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → (𝑉𝑊𝑣𝑊))
54biimpac 502 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑣𝑊)
6 uspgrupgr 26116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ USPGraph → 𝑞 ∈ UPGraph)
7 upgredgssspr 42076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ UPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ USPGraph → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
983ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘(Vtx‘𝑞)))
10 simp2l 1107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑣)
11 simp3 1083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑣 = 𝑉)
1210, 11eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Vtx‘𝑞) = 𝑉)
1312fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Pairs‘(Vtx‘𝑞)) = (Pairs‘𝑉))
149, 13sseqtrd 3674 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
15 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (Edg‘𝑞) ∈ V
1615elpw 4197 . . . . . . . . 9 ((Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉) ↔ (Edg‘𝑞) ⊆ (Pairs‘𝑉))
1714, 16sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → (Edg‘𝑞) ∈ 𝒫 (Pairs‘𝑉))
18 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (Edg‘𝑞) = 𝑒)
1918eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
20193ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒 = (Edg‘𝑞))
21 uspgrsprf.p . . . . . . . . 9 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2221a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉))
2317, 20, 223eltr4d 2745 . . . . . . 7 ((𝑞 ∈ USPGraph ∧ ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) ∧ 𝑣 = 𝑉) → 𝑒𝑃)
24233exp 1283 . . . . . 6 (𝑞 ∈ USPGraph → (((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉𝑒𝑃)))
2524rexlimiv 3056 . . . . 5 (∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒) → (𝑣 = 𝑉𝑒𝑃))
2625impcom 445 . . . 4 ((𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒)) → 𝑒𝑃)
2726adantl 481 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))) → 𝑒𝑃)
285, 27opabssxpd 5370 . 2 (𝑉𝑊 → {⟨𝑣, 𝑒⟩ ∣ (𝑣 = 𝑉 ∧ ∃𝑞 ∈ USPGraph ((Vtx‘𝑞) = 𝑣 ∧ (Edg‘𝑞) = 𝑒))} ⊆ (𝑊 × 𝑃))
291, 28syl5eqss 3682 1 (𝑉𝑊𝐺 ⊆ (𝑊 × 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  wss 3607  𝒫 cpw 4191  {copab 4745   × cxp 5141  cfv 5926  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  UPGraphcupgr 26020  USPGraphcuspgr 26088  Pairscspr 42052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-upgr 26022  df-uspgr 26090  df-spr 42053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator