MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uspgredg2vtxeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uspgredg2vtxeu 26333
Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
uspgredg2vtxeu ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem uspgredg2vtxeu
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgrupgr 26292 . . 3 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2 eqid 2770 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2770 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
42, 3upgredg2vtx 26257 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
51, 4syl3an1 1165 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
6 eqtr2 2790 . . . . 5 ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
7 vex 3352 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
8 vex 3352 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
97, 8preqr2 4510 . . . . 5 ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
106, 9syl 17 . . . 4 ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
1110a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌𝐸) ∧ (𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
1211ralrimivva 3119 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌𝐸) → ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
13 preq2 4403 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
1413eqeq2d 2780 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}))
1514reu4 3550 . 2 (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
165, 12, 15sylanbrc 564 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  ∃!wreu 3062  {cpr 4316  cfv 6031  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  UPGraphcupgr 26195  USPGraphcuspgr 26264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-hash 13321  df-edg 26160  df-upgr 26197  df-uspgr 26266
This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeu  26334  uspgredg2vlem  26336  uspgredg2v  26337
  Copyright terms: Public domain W3C validator