Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrres 26423
 Description: A subgraph obtained by removing one vertex and all edges incident with this vertex from a simple graph (see uhgrspan1 26418) is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
upgrres.s 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸𝐹)⟩
Assertion
Ref Expression
usgrres ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem usgrres
Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgrres.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgrres.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
31, 2usgrf 26272 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4 upgrres.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
54ssrab3 3837 . . . . . 6 𝐹 ⊆ dom 𝐸
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝐹 ⊆ dom 𝐸)
7 f1ssres 6248 . . . . 5 ((𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ 𝐹 ⊆ dom 𝐸) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
83, 6, 7syl2an2r 664 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
9 usgrumgr 26296 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
101, 2, 4umgrreslem 26420 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
119, 10sylan 569 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
12 f1ssr 6247 . . . 4 (((𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
138, 11, 12syl2anc 573 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
14 ssdmres 5561 . . . . 5 (𝐹 ⊆ dom 𝐸 ↔ dom (𝐸𝐹) = 𝐹)
155, 14mpbi 220 . . . 4 dom (𝐸𝐹) = 𝐹
16 f1eq2 6237 . . . 4 (dom (𝐸𝐹) = 𝐹 → ((𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ((𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ (𝐸𝐹):𝐹1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
1813, 17sylibr 224 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
19 upgrres.s . . . 4 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸𝐹)⟩
20 opex 5060 . . . 4 ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐸𝐹)⟩ ∈ V
2119, 20eqeltri 2846 . . 3 𝑆 ∈ V
221, 2, 4, 19uhgrspan1lem2 26416 . . . . 5 (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})
2322eqcomi 2780 . . . 4 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
241, 2, 4, 19uhgrspan1lem3 26417 . . . . 5 (iEdg‘𝑆) = (𝐸𝐹)
2524eqcomi 2780 . . . 4 (𝐸𝐹) = (iEdg‘𝑆)
2623, 25isusgrs 26273 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2721, 26mp1i 13 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑆 ∈ USGraph ↔ (𝐸𝐹):dom (𝐸𝐹)–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2818, 27mpbird 247 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑆 ∈ USGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3046  {crab 3065  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  ⟨cop 4322  dom cdm 5249  ran crn 5250   ↾ cres 5251  –1-1→wf1 6028  ‘cfv 6031  2c2 11272  ♯chash 13321  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UMGraphcumgr 26197  USGraphcusgr 26266 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-umgr 26199  df-usgr 26268 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator