Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrnloopvALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrnloopvALT 26138
 Description: Alternate proof of usgrnloopv 26137, not using umgrnloopv 26046. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrnloopvALT ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))

Proof of Theorem usgrnloopvALT
StepHypRef Expression
1 prnzg 4342 . . . . . . . 8 (𝑀𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3 neeq1 2885 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
52, 4mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐸𝑋) ≠ ∅)
6 fvfundmfvn0 6264 . . . . . 6 ((𝐸𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8 usgrnloopv.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
98usgredg2 26129 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (#‘(𝐸𝑋)) = 2)
10 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (#‘(𝐸𝑋)) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
1110eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((#‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
12 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
1312hashprdifel 13224 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
1413simp3d 1095 . . . . . . . . . . 11 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → 𝑀𝑁)
1511, 14syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((#‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((#‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
179, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁))
1817expcom 450 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁)))
1918com23 86 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
217, 20mpcom 38 . . . 4 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁))
2221ex 449 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑊 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
2322com13 88 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀𝑊 → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁)))
2423imp 444 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  Fun wfun 5920  ‘cfv 5926  2c2 11108  #chash 13157  iEdgciedg 25920  USGraphcusgr 26089 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-umgr 26023  df-usgr 26091 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator