Theorem usgrfilem 26440

Description: In a finite simple graph, the number of edges is finite iff the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrfilem.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
usgrfilem	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem usgrfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfilem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
2		rabfi 8353	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ∈ Fin)
3	1, 2	syl5eqel 2844	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
4		uncom 3901	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
6	5, 1	elnelun 4108	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
7	4, 6	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
8		fusgredgfi.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9		fusgredgfi.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	8, 9	fusgredgfi 26438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
11	10	anim1i 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin))
12	11	ancomd 466	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
13		unfi 8395	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
15	7, 14	syl5eqel 2844	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
16	15	ex 449	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
17	3, 16	impbid2 216	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ∉ wnel 3036  {crab 3055   ∪ cun 3714  ‘cfv 6050  Fincfn 8124  Vtxcvtx 26095  Edgcedg 26160  FinUSGraphcfusgr 26429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-hash 13333  df-edg 26161  df-upgr 26198  df-uspgr 26266  df-usgr 26267  df-fusgr 26430

This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  26442  cusgrsizeinds  26580