Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgffibi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgffibi 26336
 Description: The number of edges in a simple graph is finite iff its edge function is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredgffibi.I 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgredgffibi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgredgffibi (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

Proof of Theorem usgredgffibi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgredgffibi.I . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21fvexi 6315 . . 3 𝐼 ∈ V
3 eqid 2724 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43, 1usgrfs 26172 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5 f1vrnfibi 8367 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
62, 4, 5sylancr 698 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
7 usgredgffibi.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8 edgval 26061 . . . 4 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
91eqcomi 2733 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = 𝐼
109rneqi 5459 . . . 4 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
117, 8, 103eqtri 2750 . . 3 𝐸 = ran 𝐼
1211eleq1i 2794 . 2 (𝐸 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin)
136, 12syl6rbbr 279 1 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  {crab 3018  Vcvv 3304  𝒫 cpw 4266  dom cdm 5218  ran crn 5219  –1-1→wf1 5998  ‘cfv 6001  Fincfn 8072  2c2 11183  ♯chash 13232  Vtxcvtx 25994  iEdgciedg 25995  Edgcedg 26059  USGraphcusgr 26164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-hash 13233  df-edg 26060  df-usgr 26166 This theorem is referenced by:  fusgrfisbase  26340  fusgrfisstep  26341  fusgrfis  26342  fusgrfupgrfs  26343  vtxdgfusgrf  26524
 Copyright terms: Public domain W3C validator