MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2wspthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2wspthon 27058
Description: A simple path of length 2 between two vertices corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgr2wspthon0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgr2wspthon ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐶,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝑇,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem usgr2wspthon
StepHypRef Expression
1 usgrupgr 26247 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
21adantr 472 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐺 ∈ UPGraph)
3 simpl 474 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → 𝐴𝑉)
43adantl 473 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 simpr 479 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
65adantl 473 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
7 usgr2wspthon0.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87elwspths2on 27052 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
92, 4, 6, 8syl3anc 1463 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
10 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐺 ∈ USGraph)
1110adantr 472 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
12 simplrl 819 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐴𝑉)
13 simpr 479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
14 simplrr 820 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐶𝑉)
15 usgr2wspthon0.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
167, 15usgr2wspthons3 27057 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝑏𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
1711, 12, 13, 14, 16syl13anc 1465 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
1817anbi2d 742 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
19 anass 684 . . . . 5 (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
20 3anass 1081 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2120bicomi 214 . . . . . 6 ((𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))
2221anbi2i 732 . . . . 5 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2319, 22bitri 264 . . . 4 (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2418, 23syl6bbr 278 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
2524rexbidva 3175 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
269, 25bitrd 268 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039  {cpr 4311  cfv 6037  (class class class)co 6801  2c2 11233  ⟨“cs3 13758  Vtxcvtx 26044  Edgcedg 26109  UPGraphcupgr 26145  USGraphcusgr 26214   WSPathsNOn cwwspthsnon 26903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-ac2 9448  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-ac 9100  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-hash 13283  df-word 13456  df-concat 13458  df-s1 13459  df-s2 13764  df-s3 13765  df-edg 26110  df-uhgr 26123  df-upgr 26147  df-umgr 26148  df-uspgr 26215  df-usgr 26216  df-wlks 26676  df-wlkson 26677  df-trls 26770  df-trlson 26771  df-pths 26793  df-spths 26794  df-pthson 26795  df-spthson 26796  df-wwlks 26904  df-wwlksn 26905  df-wwlksnon 26906  df-wspthsnon 26908
This theorem is referenced by:  fusgr2wsp2nb  27459
  Copyright terms: Public domain W3C validator