Theorem usgr1v0e 26413

Description: The size of a (finite) simple graph with 1 vertex is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem usgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		vex 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝑣 ∈ V)
4		fusgredgfi.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	eqeq1i 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
6	5	biimpi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7	6	adantl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
8		usgr1vr 26342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
9	8	3adant1 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
10	1, 3, 7, 9	syl3anc 1477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
11	1, 10	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12		fusgredgfi.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	12	eqeq1i 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
14		usgruhgr 26273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
15		uhgriedg0edg0 26217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
17	16	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
18	13, 17	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
19	11, 18	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐸 = ∅)
20	19	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
21	20	exlimdv 2006	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
22		fvex 6358	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
23	4, 22	eqeltri 2831	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
24		hash1snb 13395	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
25	23, 24	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
26		fvex 6358	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
27	12, 26	eqeltri 2831	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
28		hasheq0 13342	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
30	21, 25, 29	3imtr4d 283	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝐸) = 0))
31	30	imp 444	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1628  ∃wex 1849   ∈ wcel 2135  Vcvv 3336  ∅c0 4054  {csn 4317  ‘cfv 6045  0cc0 10124  1c1 10125  ♯chash 13307  Vtxcvtx 26069  iEdgciedg 26070  Edgcedg 26134  UHGraphcuhgr 26146  USGraphcusgr 26239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-hash 13308  df-edg 26135  df-uhgr 26148  df-upgr 26172  df-uspgr 26240  df-usgr 26241

This theorem is referenced by:  cusgrsizeindb1  26552