MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1eop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1eop 26365
Description: A simple graph with (at least) two different vertices and one edge. If the two vertices were not different, the edge would be a loop. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1eop (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph))

Proof of Theorem usgr1eop
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩)
2 simpllr 760 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐴𝑋)
3 simplrl 762 . . . 4 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝑉)
4 simpl 468 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝐴𝑋) → 𝑉𝑊)
54adantr 466 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑉𝑊)
6 snex 5037 . . . . . 6 {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝐶 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
8 opvtxfv 26105 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
95, 7, 8syl2an 583 . . . 4 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
103, 9eleqtrrd 2853 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
11 simprr 756 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
126a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V)
134, 12, 8syl2an 583 . . . . 5 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = 𝑉)
1411, 13eleqtrrd 2853 . . . 4 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
1514adantr 466 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩))
16 opiedgfv 26108 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
175, 7, 16syl2an 583 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18 simpr 471 . . 3 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
191, 2, 10, 15, 17, 18usgr1e 26360 . 2 ((((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝐵𝐶) → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph)
2019ex 397 1 (((𝑉𝑊𝐴𝑋) ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵𝐶 → ⟨𝑉, {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}⟩ ∈ USGraph))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  {csn 4317  {cpr 4319  cop 4323  cfv 6030  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  USGraphcusgr 26266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-hash 13322  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-edg 26161  df-uspgr 26267  df-usgr 26268
This theorem is referenced by:  usgr2v1e2w  26367
  Copyright terms: Public domain W3C validator