Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1e 26357
 Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
uspgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
uspgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
uspgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
usgr1e (𝜑𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgr1e.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uspgr1e.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
3 uspgr1e.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 uspgr1e.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
5 uspgr1e.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
61, 2, 3, 4, 5uspgr1e 26356 . 2 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
7 usgr1e.e . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
8 hashprg 13394 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
93, 4, 8syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
107, 9mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
11 prex 5058 . . . . 5 {𝐵, 𝐶} ∈ V
12 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐵, 𝐶}))
1312eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1411, 13ralsn 4366 . . . 4 (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
1510, 14sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2)
16 edgval 26161 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
185rneqd 5508 . . . . 5 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
19 rnsnopg 5773 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
202, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
2117, 18, 203eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
2221raleqdv 3283 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2 ↔ ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2))
2315, 22mpbird 247 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2)
24 usgruspgrb 26296 . 2 (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2))
256, 23, 24sylanbrc 701 1 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {csn 4321  {cpr 4323  ⟨cop 4327  ran crn 5267  ‘cfv 6049  2c2 11282  ♯chash 13331  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  Edgcedg 26159  USPGraphcuspgr 26263  USGraphcusgr 26264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332  df-edg 26160  df-uspgr 26265  df-usgr 26266 This theorem is referenced by:  usgr1eop  26362  1egrvtxdg1  26636  1egrvtxdg0  26638
 Copyright terms: Public domain W3C validator