MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr0vb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr0vb 26352
Description: The null graph, with no vertices, is a simple graph iff the edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr0vb ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr0vb
StepHypRef Expression
1 usgruhgr 26300 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2 uhgr0vb 26188 . . 3 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
31, 2syl5ib 234 . 2 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
4 simpl 468 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺𝑊)
5 simpr 471 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
64, 5usgr0e 26351 . . . 4 ((𝐺𝑊 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
76ex 397 . . 3 (𝐺𝑊 → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
87adantr 466 . 2 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
93, 8impbid 202 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4063  cfv 6030  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UHGraphcuhgr 26172  USGraphcusgr 26266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-2 11285  df-uhgr 26174  df-upgr 26198  df-uspgr 26267  df-usgr 26268
This theorem is referenced by:  usgr0v  26356  usgr1v  26371
  Copyright terms: Public domain W3C validator