MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr2pthnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr2pthnlp 26859
Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgr2pthnlp ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp
StepHypRef Expression
1 2pthnloop.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
212pthnloop 26858 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
323adant1 1125 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
4 pthiswlk 26854 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
51wlkf 26741 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 simp2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7 wrdsymbcl 13524 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼)
81upgrle2 26220 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
96, 7, 83imp3i2an 1437 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
10 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V
11 hashxnn0 13341 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0*)
12 xnn0xr 11580 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0* → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*
14 2re 11302 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1514rexri 10309 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
1613, 15pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17 xrletri3 12198 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1918biimprd 238 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
209, 19mpand 713 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
21203exp 1113 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
224, 5, 213syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
2322impcom 445 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
24233adant3 1127 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
2524imp 444 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
2625ralimdva 3100 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
273, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  2c2 11282  0*cxnn0 11575  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497  iEdgciedg 26095  UPGraphcupgr 26195  Walkscwlks 26723  Pathscpths 26839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-uhgr 26173  df-upgr 26197  df-wlks 26726  df-trls 26820  df-pths 26843
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator