Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitssxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitssxrge0 30276
Description: The closed unit is a subset of the set of the extended nonnegative reals. Useful lemma for manipulating probabilities within the closed unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
unitssxrge0 (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)

Proof of Theorem unitssxrge0
StepHypRef Expression
1 0e0iccpnf 12496 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
2 1re 10251 . . . 4 1 ∈ ℝ
32rexri 10309 . . 3 1 ∈ ℝ*
4 0le1 10763 . . 3 0 ≤ 1
5 pnfge 12177 . . . 4 (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
63, 5ax-mp 5 . . 3 1 ≤ +∞
7 0xr 10298 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 pnfxr 10304 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
9 elicc1 12432 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞)))
107, 8, 9mp2an 710 . . 3 (1 ∈ (0[,]+∞) ↔ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ +∞))
113, 4, 6, 10mpbir3an 1427 . 2 1 ∈ (0[,]+∞)
12 iccss2 12457 . 2 ((0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 1 ∈ (0[,]+∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞))
131, 11, 12mp2an 710 1 (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  w3a 1072  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149  +∞cpnf 10283  *cxr 10285  cle 10287  [,]cicc 12391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-icc 12395
This theorem is referenced by:  probun  30811
  Copyright terms: Public domain W3C validator