Theorem unitss 18706

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitcl.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitss	⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem unitss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		unitcl.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitcl 18705	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	ssriv 3640	1 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1523   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  Unitcui 18685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-dvdsr 18687  df-unit 18688

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  18712  unitgrpid  18715  unitsubm  18716  invrpropd  18744  issubdrg  18853  fidomndrng  19355  znunithash  19961  dvrcn  22034  nmdvr  22521  nrginvrcnlem  22542  nrginvrcn  22543  dchrelbasd  25009  dchrinvcl  25023  dchrghm  25026  dchr1  25027  dchreq  25028  dchrresb  25029  dchrabs  25030  dchrinv  25031  dchrptlem1  25034  dchrptlem2  25035  dchrpt  25037  dchrsum2  25038  dchrsum  25039  sum2dchr  25044  lgsdchr  25125  rpvmasum2  25246  dvrdir  29918  rdivmuldivd  29919  dvrcan5  29921  elrhmunit  29948  rhmunitinv  29950  idomodle  38091