Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unitmulclb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unitmulclb 18873
 Description: Reversal of unitmulcl 18872 in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2 · = (.r𝑅)
unitmulclb.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
unitmulclb ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋𝑈𝑌𝑈)))

Proof of Theorem unitmulclb
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
2 simp2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
3 simp3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 unitmulclb.1 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 eqid 2771 . . . . . . 7 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
6 unitmulcl.2 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
74, 5, 6dvdsrmul 18856 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
82, 3, 7syl2anc 573 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
94, 6crngcom 18770 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
108, 9breqtrrd 4814 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
11 unitmulcl.1 . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1211, 5dvdsunit 18871 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋𝑈)
13123expia 1114 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
141, 10, 13syl2anc 573 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈))
154, 5, 6dvdsrmul 18856 . . . . 5 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
163, 2, 15syl2anc 573 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
1711, 5dvdsunit 18871 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌𝑈)
18173expia 1114 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈))
191, 16, 18syl2anc 573 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈𝑌𝑈))
2014, 19jcad 502 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 → (𝑋𝑈𝑌𝑈)))
21 crngring 18766 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22213ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2311, 6unitmulcl 18872 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
24233expib 1116 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
2522, 24syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋𝑈𝑌𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈))
2620, 25impbid 202 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ (𝑋𝑈𝑌𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  ∥rcdsr 18846  Unitcui 18847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850 This theorem is referenced by:  dchrelbas3  25184
 Copyright terms: Public domain W3C validator