MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unirnblps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unirnblps 22444
Description: The union of the set of balls of a metric space is its base set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
unirnblps (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)

Proof of Theorem unirnblps
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blfps 22431 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21frnd 6191 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3 sspwuni 4746 . . 3 (ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
42, 3sylib 208 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ⊆ 𝑋)
5 1rp 12039 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
6 blcntrps 22437 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
75, 6mp3an3 1561 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1))
8 rpxr 12043 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
95, 8ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
10 blelrnps 22441 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
119, 10mp3an3 1561 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
12 elunii 4580 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷)) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
137, 11, 12syl2anc 573 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ran (ball‘𝐷))
1413ex 397 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 ran (ball‘𝐷)))
1514ssrdv 3758 . 2 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ran (ball‘𝐷))
164, 15eqssd 3769 1 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  𝒫 cpw 4298   cuni 4575   × cxp 5248  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  1c1 10143  *cxr 10279  +crp 12035  PsMetcpsmet 19945  ballcbl 19948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-rp 12036  df-psmet 19953  df-bl 19956
This theorem is referenced by:  psmetutop  22592
  Copyright terms: Public domain W3C validator