MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniretop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniretop 22785
Description: The underlying set of the standard topology on the reals is the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)
Assertion
Ref Expression
uniretop ℝ = (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem uniretop
StepHypRef Expression
1 unirnioo 12478 . 2 ℝ = ran (,)
2 retopbas 22783 . . 3 ran (,) ∈ TopBases
3 unitg 20991 . . 3 (ran (,) ∈ TopBases → (topGen‘ran (,)) = ran (,))
42, 3ax-mp 5 . 2 (topGen‘ran (,)) = ran (,)
51, 4eqtr4i 2795 1 ℝ = (topGen‘ran (,))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144   cuni 4572  ran crn 5250  cfv 6031  cr 10136  (,)cioo 12379  topGenctg 16305  TopBasesctb 20969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-ioo 12383  df-topgen 16311  df-bases 20970
This theorem is referenced by:  retopon  22786  retps  22787  icccld  22789  icopnfcld  22790  iocmnfcld  22791  qdensere  22792  zcld  22835  iccntr  22843  icccmp  22847  retopconn  22851  opnreen  22853  rectbntr0  22854  cnmpt2pc  22946  evth  22977  evth2  22978  evthicc  23446  ovolicc2  23509  opnmbllem  23588  lhop  23998  dvcnvrelem2  24000  dvcnvre  24001  ftc1  24024  taylthlem2  24347  ipasslem8  28026  circtopn  30238  tpr2rico  30292  rrhf  30376  rrhqima  30392  rrhre  30399  brsigarn  30581  unibrsiga  30583  sxbrsigalem3  30668  dya2iocucvr  30680  sxbrsigalem1  30681  orrvcval4  30860  orrvcoel  30861  orrvccel  30862  retopsconn  31563  cvmliftlem10  31608  ivthALT  32661  ptrecube  33735  poimirlem29  33764  poimirlem30  33765  poimirlem31  33766  opnmbllem0  33771  mblfinlem1  33772  mblfinlem2  33773  mblfinlem3  33774  mblfinlem4  33775  ismblfin  33776  ftc1cnnc  33809  refsum2cnlem1  39712  sncldre  39723  reopn  40013  ioontr  40250  limciccioolb  40365  limcicciooub  40381  lptre2pt  40384  limclner  40395  limclr  40399  cncfiooicclem1  40618  fperdvper  40645  itgsubsticclem  40702  stoweidlem62  40790  dirkercncflem2  40832  dirkercncflem3  40833  dirkercncflem4  40834  fourierdlem42  40877  fourierdlem58  40892  fourierdlem73  40907  fouriercnp  40954  fouriercn  40960  cnfsmf  41463  incsmf  41465  decsmf  41489  smfpimbor1lem2  41520
  Copyright terms: Public domain W3C validator