Theorem unir1 8849

Description: The cumulative hierarchy of sets covers the universe. Proposition 4.45 (b) to (a) of [Mendelson] p. 281. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
unir1	⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Proof of Theorem unir1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setind 8783	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)) → ∪ (𝑅1 “ On) = V)
2		vex 3343	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	r1elss 8842	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
4	3	biimpri 218	. 2 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	mpg 1873	1 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588   “ cima 5269  Oncon0 5884  𝑅₁cr1 8798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-reg 8662  ax-inf2 8711

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-r1 8800

This theorem is referenced by:  jech9.3  8850  rankwflem  8851  rankval  8852  rankr1g  8868  rankid  8869  ssrankr1  8871  rankel  8875  rankval3  8876  rankpw  8879  rankss  8885  ranksn  8890  rankuni2  8891  rankun  8892  rankpr  8893  rankop  8894  r1rankid  8895  rankeq0  8897  rankr1b  8900  dfac12a  9162  hsmex2  9447  grutsk  9836