Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem1 23395
 Description: Lemma for uniioombl 23403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem1
StepHypRef Expression
1 uniioombl.g . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2 eqid 2651 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺)
3 uniioombl.t . . . . . 6 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
42, 3ovolsf 23287 . . . . 5 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞))
6 frn 6091 . . . 4 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ (0[,)+∞))
8 rge0ssre 12318 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
97, 8syl6ss 3648 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
10 1nn 11069 . . . . 5 1 ∈ ℕ
11 fdm 6089 . . . . . 6 (𝑇:ℕ⟶(0[,)+∞) → dom 𝑇 = ℕ)
125, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
1310, 12syl5eleqr 2737 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
14 ne0i 3954 . . . 4 (1 ∈ dom 𝑇 → dom 𝑇 ≠ ∅)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
16 dm0rn0 5374 . . . 4 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
1716necon3bii 2875 . . 3 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
1815, 17sylib 208 . 2 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
19 icossxr 12296 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
207, 19syl6ss 3648 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ*)
21 supxrcl 12183 . . . 4 (ran 𝑇 ⊆ ℝ* → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
23 uniioombl.e . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
24 uniioombl.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
2524rpred 11910 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2623, 25readdcld 10107 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
2726rexrd 10127 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ*)
28 pnfxr 10130 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
30 uniioombl.v . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
31 ltpnf 11992 . . . 4 (((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3226, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) < +∞)
3322, 27, 29, 30, 32xrlelttrd 12029 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞)
34 supxrbnd 12196 . 2 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) < +∞) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
359, 18, 33, 34syl3anc 1366 1 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ∪ cuni 4468  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  seqcseq 12841  abscabs 14018  vol*covol 23277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020 This theorem is referenced by:  uniioombllem3  23399  uniioombllem4  23400  uniioombllem5  23401  uniioombllem6  23402
 Copyright terms: Public domain W3C validator