MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unicld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unicld 21071
Description: A finite union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
unicld ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem unicld
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniiun 4707 . 2 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
2 dfss3 3741 . . 3 (𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
3 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
43iuncld 21070 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
52, 4syl3an3b 1511 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
61, 5syl5eqel 2854 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723   cuni 4574   ciun 4654  cfv 6031  Fincfn 8109  Topctop 20918  Clsdccld 21041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-fin 8113  df-top 20919  df-cld 21044
This theorem is referenced by:  cldsubg  22134
  Copyright terms: Public domain W3C validator