Theorem unibrsiga 30579

Description: The union of the Borel Algebra is the set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
unibrsiga	⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ

Proof of Theorem unibrsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 22786	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		unisg 30536	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ∪ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) = ∪ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) = ∪ (topGen‘ran (,))
4		df-brsiga 30575	. . 3 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
5	4	unieqi 4597	. 2 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ∪ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
6		uniretop 22787	. 2 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2792	1 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∪ cuni 4588  ran crn 5267  ‘cfv 6049  ℝcr 10147  (,)cioo 12388  topGenctg 16320  Topctop 20920  sigaGencsigagen 30531  𝔅_ℝcbrsiga 30574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-ioo 12392  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972  df-siga 30501  df-sigagen 30532  df-brsiga 30575

This theorem is referenced by:  elmbfmvol2  30659  mbfmcnt  30660  br2base  30661  isrrvv  30835  orvcelval  30860  dstrvprob  30863