MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfilem3 8211
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfilem3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∖ 𝐴))

Proof of Theorem unfilem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6642 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +𝑜 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵))
2 id 22 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
31, 2difeq12d 3721 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∖ 𝐴) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
43breq2d 4656 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐵 ≈ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∖ 𝐴) ↔ 𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
5 id 22 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
6 oveq2 6643 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
76difeq1d 3719 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
85, 7breq12d 4657 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
9 peano1 7070 . . . 4 ∅ ∈ ω
109elimel 4141 . . 3 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
11 ovex 6663 . . . 4 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∈ V
12 difexg 4799 . . . 4 ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∈ V → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V)
1311, 12ax-mp 5 . . 3 ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V
149elimel 4141 . . . 4 if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
15 eqid 2620 . . . 4 (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝑥)) = (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝑥))
1614, 10, 15unfilem2 8210 . . 3 (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
17 f1oen2g 7957 . . 3 ((if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω ∧ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))) → if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
1810, 13, 16, 17mp3an 1422 . 2 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
194, 8, 18dedth2h 4131 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∖ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cdif 3564  c0 3907  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720  1-1-ontowf1o 5875  (class class class)co 6635  ωcom 7050   +𝑜 coa 7542  cen 7937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-oadd 7549  df-en 7941
This theorem is referenced by:  unfi  8212
  Copyright terms: Public domain W3C validator