Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unelcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unelcarsg 30683
Description: The Caratheodory-measurable sets are closed under pairwise unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
difelcarsg.1 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
inelcarsg.1 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
inelcarsg.2 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
unelcarsg (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑎   𝑂,𝑎   𝜑,𝑎   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑀,𝑏   𝑂,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem unelcarsg
StepHypRef Expression
1 carsgval.1 . . . . 5 (𝜑𝑂𝑉)
2 carsgval.2 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3 difelcarsg.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
41, 2, 3elcarsgss 30680 . . . 4 (𝜑𝐴𝑂)
5 dfss4 4001 . . . 4 (𝐴𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) = 𝐴)
64, 5sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) = 𝐴)
7 inelcarsg.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
81, 2, 7elcarsgss 30680 . . . 4 (𝜑𝐵𝑂)
9 dfss4 4001 . . . 4 (𝐵𝑂 ↔ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵)) = 𝐵)
108, 9sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∖ (𝑂𝐵)) = 𝐵)
116, 10uneq12d 3911 . 2 (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵))) = (𝐴𝐵))
12 difindi 4024 . . 3 (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∩ (𝑂𝐵))) = ((𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵)))
131, 2, 3difelcarsg 30681 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
14 inelcarsg.1 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝑂𝑏 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑎𝑏)) ≤ ((𝑀𝑎) +𝑒 (𝑀𝑏)))
151, 2, 7difelcarsg 30681 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
161, 2, 13, 14, 15inelcarsg 30682 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∩ (𝑂𝐵)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
171, 2, 16difelcarsg 30681 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∩ (𝑂𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
1812, 17syl5eqelr 2844 . 2 (𝜑 → ((𝑂 ∖ (𝑂𝐴)) ∪ (𝑂 ∖ (𝑂𝐵))) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
1911, 18eqeltrrd 2840 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  cle 10267   +𝑒 cxad 12137  [,]cicc 12371  toCaraSigaccarsg 30672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-xadd 12140  df-icc 12375  df-carsg 30673
This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  30687
  Copyright terms: Public domain W3C validator