Theorem undif 4191

Description: Union of complementary parts into whole. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
undif	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem undif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssequn1 3924	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
2		undif2 4186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3	2	eqeq1i 2763	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
4	1, 3	bitr4i 267	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1630   ∖ cdif 3710   ∪ cun 3711   ⊆ wss 3713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ral 3053  df-rab 3057  df-v 3340  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057

This theorem is referenced by:  raldifeq  4201  difsnid  4484  fveqf1o  6718  ralxpmap  8071  undifixp  8108  dfdom2  8145  sbthlem5  8237  sbthlem6  8238  domunsn  8273  fodomr  8274  mapdom2  8294  limensuci  8299  findcard2  8363  unfi  8390  marypha1lem  8502  brwdom2  8641  infdifsn  8725  ackbij1lem12  9243  ackbij1lem18  9249  ssfin4  9322  fin23lem28  9352  fin23lem30  9354  fin1a2lem13  9424  canthp1lem1  9664  xrsupss  12330  xrinfmss  12331  hashssdif  13390  hashfun  13414  hashf1lem2  13430  fsumless  14725  incexclem  14765  incexc  14766  fprodsplit1f  14918  pwssplit1  19259  frlmsslss2  20314  mdetdiaglem  20604  mdetrlin  20608  mdetrsca  20609  mdetralt  20614  smadiadet  20676  isclo  21091  cmpcld  21405  rrxcph  23378  rrxdstprj1  23390  uniiccmbl  23556  itgss3  23778  dchreq  25180  axlowdimlem7  26025  axlowdimlem10  26028  padct  29804  resf1o  29812  fprodeq02  29876  locfinref  30215  indval2  30383  esummono  30423  gsumesum  30428  sigaclfu2  30491  measxun2  30580  measvuni  30584  measssd  30585  pmeasmono  30693  eulerpartlemt  30740  tgoldbachgtde  31045  noextendseq  32124  poimirlem9  33729  poimirlem15  33735  poimirlem25  33745  diophrw  37822  eldioph2lem1  37823  eldioph2lem2  37824  kelac1  38133  fsumsplit1  40305  ioccncflimc  40599  icocncflimc  40603  dirkercncflem2  40822  dirkercncflem3  40823  sge0ss  41130  meassle  41181  meadif  41197  meaiininclem  41204  isomenndlem  41248  hspmbllem1  41344  hspmbllem2  41345  ovolval4lem1  41367  fsumsplitsndif  41851