MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncdadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uncdadom 9181
Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uncdadom ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem uncdadom
StepHypRef Expression
1 0ex 4938 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 xpsneng 8206 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
31, 2mpan2 709 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4 ensym 8166 . . . 4 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
5 endom 8144 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
7 1on 7732 . . . . 5 1𝑜 ∈ On
8 xpsneng 8206 . . . . 5 ((𝐵𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
97, 8mpan2 709 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
10 ensym 8166 . . . 4 ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}))
11 endom 8144 . . . 4 (𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}) → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐵𝑊𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
13 xp01disj 7741 . . . 4 ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
14 undom 8209 . . . 4 (((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
1513, 14mpan2 709 . . 3 ((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
166, 12, 15syl2an 495 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
17 cdaval 9180 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
1816, 17breqtrrd 4828 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  Vcvv 3336  cun 3709  cin 3710  c0 4054  {csn 4317   class class class wbr 4800   × cxp 5260  Oncon0 5880  (class class class)co 6809  1𝑜c1o 7718  cen 8114  cdom 8115   +𝑐 ccda 9177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-ord 5883  df-on 5884  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-1o 7725  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-cda 9178
This theorem is referenced by:  cdadom3  9198  unnum  9210  ficardun2  9213  pwsdompw  9214  unctb  9215  infunabs  9217  infcda  9218  infdif  9219
  Copyright terms: Public domain W3C validator