Theorem uncdadom 9181

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uncdadom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem uncdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4938	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsneng 8206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 709	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4		ensym 8166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
5		endom 8144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
7		1on 7732	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ On
8		xpsneng 8206	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan2 709	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
10		ensym 8166	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}))
11		endom 8144	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}) → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
13		xp01disj 7741	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
14		undom 8209	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
15	13, 14	mpan2 709	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
16	6, 12, 15	syl2an 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
17		cdaval 9180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
18	16, 17	breqtrrd 4828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  Vcvv 3336   ∪ cun 3709   ∩ cin 3710  ∅c0 4054  {csn 4317   class class class wbr 4800   × cxp 5260  Oncon0 5880  (class class class)co 6809  1_𝑜c1o 7718   ≈ cen 8114   ≼ cdom 8115   +_𝑐 ccda 9177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-ord 5883  df-on 5884  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-1o 7725  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-cda 9178

This theorem is referenced by:  cdadom3  9198  unnum  9210  ficardun2  9213  pwsdompw  9214  unctb  9215  infunabs  9217  infcda  9218  infdif  9219