Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unblimceq0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unblimceq0lem 32824
Description: Lemma for unblimceq0 32825. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unblimceq0lem.0 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unblimceq0lem.1 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
unblimceq0lem.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
unblimceq0lem.3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unblimceq0lem (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐴,𝑑,𝑥   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝐹   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑦,𝑆   𝜑,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥   𝜑,𝑦,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑆(𝑐)   𝐹(𝑐)

Proof of Theorem unblimceq0lem
StepHypRef Expression
1 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
21anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
32rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
43ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑏 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
5 unblimceq0lem.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
65adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
7 unblimceq0lem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
87ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
9 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
108, 9ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
1110abscld 14394 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
12 simprl 811 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
1312rpred 12085 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑐 ∈ ℝ)
1413adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
1511, 14readdcld 10281 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
1610absge0d 14402 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)))
1712rpgt0d 12088 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑐)
1817adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 < 𝑐)
1911, 14, 16, 18addgegt0d 10813 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → 0 < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
2015, 19elrpd 12082 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ+)
21 simplrl 819 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ+)
2220, 21ifclda 4264 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ∈ ℝ+)
234, 6, 22rspcdva 3455 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
24 simprr 813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25 rsp 3067 . . . 4 (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (𝑑 ∈ ℝ+ → ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
2623, 24, 25sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑥𝑆 ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
27 simprl 811 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → 𝑥𝑆)
28 neeq1 2994 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
29 oveq1 6821 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴) = (𝑥𝐴))
3029fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦𝐴)) = (abs‘(𝑥𝐴)))
3130breq1d 4814 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑))
32 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
3332fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑥)))
3433breq2d 4816 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
3528, 31, 343anbi123d 1548 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
3635adantl 473 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
3715adantlr 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ∈ ℝ)
387ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
3938, 27ffvelrnd 6524 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4039abscld 14394 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
4140adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
42 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
4342iftrued 4238 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
4443eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
45 simprrr 824 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4645adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4744, 46eqbrtrd 4826 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
4837, 41, 47lensymd 10400 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → ¬ (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
49 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
5049fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝐴)))
5150adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹𝐴)))
5214, 11ltaddposd 10823 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (0 < 𝑐 ↔ (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5318, 52mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5453adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝐴)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5551, 54eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
5655ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5756adantlr 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
5857necon3bd 2946 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (¬ (abs‘(𝐹𝑥)) < ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐) → 𝑥𝐴))
5948, 58mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑥𝐴)
60 simprrl 823 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
6160adantr 472 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
6214adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ∈ ℝ)
6310adantlr 753 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
6463absge0d 14402 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)))
6511adantlr 753 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6662, 65addge02d 10828 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (0 ≤ (abs‘(𝐹𝐴)) ↔ 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐)))
6764, 66mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐))
6862, 37, 41, 67, 47letrd 10406 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
6959, 61, 683jca 1123 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
70 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → ¬ 𝐴𝑆)
71 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
7227adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑥𝑆)
7372adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝑆)
7471, 73eqeltrrd 2840 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑆)
7574ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (𝑥 = 𝐴𝐴𝑆))
7675necon3bd 2946 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (¬ 𝐴𝑆𝑥𝐴))
7770, 76mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑥𝐴)
7860adantr 472 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑)
7970iffalsed 4241 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) = 𝑐)
8079eqcomd 2766 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 = if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐))
8145adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8280, 81eqbrtrd 4826 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → 𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8377, 78, 823jca 1123 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) ∧ ¬ 𝐴𝑆) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8469, 83pm2.61dan 867 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → (𝑥𝐴 ∧ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8527, 36, 84rspcedvd 3456 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑥𝑆 ∧ ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑 ∧ if(𝐴𝑆, ((abs‘(𝐹𝐴)) + 𝑐), 𝑐) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))) → ∃𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
8626, 85rexlimddv 3173 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
8786ralrimivva 3109 1 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦𝑆 (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑𝑐 ≤ (abs‘(𝐹𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  +crp 12045  abscabs 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195
This theorem is referenced by:  unblimceq0  32825
  Copyright terms: Public domain W3C validator