MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  un0addcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem un0addcl 11364
Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0addcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2722 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 3786 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 264 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2722 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 3786 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 264 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 3809 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 3671 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 3634 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 642 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514addid2d 10275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
169a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑇)
1716sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁𝑇)
1815, 17eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19 elsni 4227 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2019oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
2120eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2218, 21syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2322impancom 455 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2412, 23jaodan 843 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
257, 24sylan2b 491 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26 0cnd 10071 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2726snssd 4372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2813, 27unssd 3822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
291, 28syl5eqss 3682 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3029sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130addid1d 10274 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀𝑇)
3331, 32eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34 elsni 4227 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3534oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
3635eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
3733, 36syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
3825, 37jaod 394 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
394, 38syl5bi 232 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
4039impr 648 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  nn0addcl  11366  plyaddlem  24016  plymullem  24017
  Copyright terms: Public domain W3C validator