MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrreslem 26417
Description: Lemma for umgrres 26419 and usgrres 26420. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Revised by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgrres.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
upgrres.f 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
umgrreslem ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝐸,𝑝   𝐺,𝑝   𝑖,𝑁   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖,𝑝)   𝐺(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem umgrreslem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 5279 . 2 (𝐸𝐹) = ran (𝐸𝐹)
2 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑗))
3 neleq2 3041 . . . . . . 7 ((𝐸𝑖) = (𝐸𝑗) → (𝑁 ∉ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)))
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑖) ↔ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)))
5 upgrres.f . . . . . 6 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
64, 5elrab2 3507 . . . . 5 (𝑗𝐹 ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑗)))
7 upgrres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 upgrres.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
97, 8umgrf 26213 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
10 ffvelrn 6521 . . . . . . . . . 10 ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2})
11 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = (𝐸𝑗) → (♯‘𝑝) = (♯‘(𝐸𝑗)))
1211eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝐸𝑗) → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2))
1312elrab 3504 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2))
14 simpll 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉)
15 elpwi 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉)
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉)
18 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → 𝑁 ∉ (𝐸𝑗))
19 elpwdifsn 4465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐸𝑗) ⊆ 𝑉𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
2014, 17, 18, 19syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}))
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (♯‘(𝐸𝑗)) = 2)
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (♯‘(𝐸𝑗)) = 2)
2312, 20, 22elrabd 3506 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) ∧ 𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
2423ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
2524a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((𝐸𝑗) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑗)) = 2) → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
2613, 25sylbi 207 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
2710, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} ∧ 𝑗 ∈ dom 𝐸) → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})))
2827ex 449 . . . . . . . 8 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁𝑉 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
2928com23 86 . . . . . . 7 (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2} → (𝑁𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
309, 29syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑁𝑉 → (𝑗 ∈ dom 𝐸 → (𝑁 ∉ (𝐸𝑗) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))))
3130imp4b 614 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝑗 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑗)) → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
326, 31syl5bi 232 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝑗𝐹 → (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
3332ralrimiv 3103 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ∀𝑗𝐹 (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
34 umgruhgr 26219 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
358uhgrfun 26181 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐸)
3634, 35syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → Fun 𝐸)
3736adantr 472 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → Fun 𝐸)
38 ssrab2 3828 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)} ⊆ dom 𝐸
395, 38eqsstri 3776 . . . 4 𝐹 ⊆ dom 𝐸
40 funimass4 6410 . . . 4 ((Fun 𝐸𝐹 ⊆ dom 𝐸) → ((𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗𝐹 (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
4137, 39, 40sylancl 697 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ∀𝑗𝐹 (𝐸𝑗) ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
4233, 41mpbird 247 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
431, 42syl5eqssr 3791 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁𝑉) → ran (𝐸𝐹) ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wnel 3035  wral 3050  {crab 3054  cdif 3712  wss 3715  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  2c2 11282  chash 13331  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  UHGraphcuhgr 26171  UMGraphcumgr 26196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332  df-uhgr 26173  df-upgr 26197  df-umgr 26198
This theorem is referenced by:  umgrres  26419  usgrres  26420
  Copyright terms: Public domain W3C validator