Theorem umgrislfupgrlem 25946

Description: Lemma for umgrislfupgr 25947 and usgrislfuspgr 26006. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrlem	⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 11072	. . . 4 ⊢ 0 < 2
2		simprl 793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3		fveq2 6158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
4		hash0 13114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (#‘∅) = 0
5	3, 4	syl6eq 2671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
6	5	breq2d 4635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7		2re 11050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		0re 10000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	lenlti 10117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
11	9, 10	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
12	6, 11	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
13	12	adantld 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
14	13	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → 𝑥 ≠ ∅)))
15	14	impd 447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
17	15, 16	pm2.61ine 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
18		eldifsn 4294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
19	2, 17, 18	sylanbrc 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
20		simprr 795	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 2 ≤ (#‘𝑥))
21	19, 20	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
22	21	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
23		eldifi 3716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
24	23	anim1i 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
25	22, 24	impbid1 215	. . . . 5 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
26	25	rabbidva2 3178	. . . 4 ⊢ (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
27	1, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
28	27	ineq2i 3795	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
29		inrab 3881	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))}
30		vex 3193	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
31		hashxnn0 13083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (#‘𝑥) ∈ ℕ0*)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝑥) ∈ ℕ0*
33		xnn0xr 11328	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑥) ∈ ℕ0* → (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (#‘𝑥) ∈ ℝ*
35	7	rexri 10057	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
36		xrletri3 11945	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
37	34, 35, 36	mp2an 707	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
38	37	bicomi 214	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (#‘𝑥) = 2)
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (#‘𝑥) = 2))
40	39	rabbiia 3177	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
41	28, 29, 40	3eqtri 2647	1 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2912  Vcvv 3190   ∖ cdif 3557   ∩ cin 3559  ∅c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  0cc0 9896  ℝ^*cxr 10033   < clt 10034   ≤ cle 10035  2c2 11030  ℕ₀^*cxnn0 11323  #chash 13073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074

This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  25947  usgrislfuspgr  26006