Theorem umgredgnlp 26162

Description: An edge of a multigraph is not a loop. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgredgnlp.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredgnlp	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺

Proof of Theorem umgredgnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3307	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
2		hashsng 13272	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
3		1ne2 11353	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 2
4	3	neii 2898	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 2
5		eqeq1 2728	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑣}) = 1 → ((♯‘{𝑣}) = 2 ↔ 1 = 2))
6	4, 5	mtbiri 316	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑣}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑣}) = 2)
7	1, 2, 6	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ¬ (♯‘{𝑣}) = 2
8		fveq2 6304	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → (♯‘𝐶) = (♯‘{𝑣}))
9	8	eqeq1d 2726	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ((♯‘𝐶) = 2 ↔ (♯‘{𝑣}) = 2))
10	7, 9	mtbiri 316	. . . 4 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ¬ (♯‘𝐶) = 2)
11	10	intnand 1000	. . 3 ⊢ (𝐶 = {𝑣} → ¬ (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
12		umgredgnlp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	12	eleq2i 2795	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
14		edgumgr 26150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
15	13, 14	sylan2b 493	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
16	11, 15	nsyl3 133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ 𝐶 = {𝑣})
17	16	nexdv 1977	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ¬ ∃𝑣 𝐶 = {𝑣})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596  ∃wex 1817   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304  𝒫 cpw 4266  {csn 4285  ‘cfv 6001  1c1 10050  2c2 11183  ♯chash 13232  Vtxcvtx 25994  Edgcedg 26059  UMGraphcumgr 26096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-hash 13233  df-edg 26060  df-umgr 26098

This theorem is referenced by: (None)