MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2edgneu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2edgneu 26305
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 26303. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgrvad2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgr2edgneu (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgrvad2edg.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21umgrvad2edg 26304 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦))
3 3simpc 1147 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
4 neneq 2938 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
543ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
63, 5jca 555 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
76reximi 3149 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
87reximi 3149 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
92, 8syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10 rexanali 3136 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1110rexbii 3179 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12 rexnal 3133 . . . . 5 (∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1311, 12bitri 264 . . . 4 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
149, 13sylib 208 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1514intnand 1000 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16 eleq2w 2823 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
1716reu4 3541 . 2 (∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥 ↔ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1815, 17sylnibr 318 1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  ∃!wreu 3052  {cpr 4323  cfv 6049  Edgcedg 26138  UMGraphcumgr 26175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-hash 13312  df-edg 26139  df-umgr 26177
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator