Theorem umgr2edg1 26294

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 8-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrf1oedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgrf1oedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edg1	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgr2edg1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrf1oedg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		usgrf1oedg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	umgr2edg 26292	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))
4		3anrot 1087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
5		df-ne 2925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	5	3anbi3i 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	4, 6	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8		df-3an 1074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	7, 8	bitri 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ ((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10	9	2rexbii 3172	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
11	3, 10	sylib 208	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
12		rexanali 3128	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
13	12	rexbii 3171	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
14		rexnal 3125	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
15	13, 14	bitri 264	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
16	11, 15	sylib 208	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
17	16	intnand 1000	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
18		fveq2 6344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑦))
19	18	eleq2d 2817	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)))
20	19	reu4 3533	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐼∀𝑦 ∈ dom 𝐼((𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
21	17, 20	sylnibr 318	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝑁 ∈ (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042  ∃wrex 3043  ∃!wreu 3044  {cpr 4315  dom cdm 5258  ‘cfv 6041  iEdgciedg 26066  Edgcedg 26130  UMGraphcumgr 26167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304  df-edg 26131  df-uhgr 26144  df-upgr 26168  df-umgr 26169

This theorem is referenced by:  usgr2edg1  26295