Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2cwwkdifex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cwwkdifex 27217
 Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a undirected simple graph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgr2cwwkdifex ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑖,𝑊

Proof of Theorem umgr2cwwkdifex
StepHypRef Expression
1 eluz2b2 11974 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
2 1nn0 11520 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℕ0)
4 simpl 474 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 simpr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
6 elfzo0 12723 . . . . 5 (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
73, 4, 5, 6syl3anbrc 1429 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ (0..^𝑁))
81, 7sylbi 207 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ (0..^𝑁))
983ad2ant2 1129 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
10 fveq2 6353 . . . 4 (𝑖 = 1 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
1110adantl 473 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
1211neeq1d 2991 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0)))
13 umgr2cwwk2dif 27216 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
149, 12, 13rspcedvd 3456 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286  ℕcn 11232  2c2 11282  ℕ0cn0 11504  ℤ≥cuz 11899  ..^cfzo 12679  UMGraphcumgr 26196   ClWWalksN cclwwlkn 27168 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-edg 26160  df-umgr 26198  df-clwwlk 27126  df-clwwlkn 27170 This theorem is referenced by:  umgrhashecclwwlk  27230
 Copyright terms: Public domain W3C validator