MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2cwwk2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cwwk2dif 27028
Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a multigraph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgr2cwwk2dif ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))

Proof of Theorem umgr2cwwk2dif
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2651 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 26999 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 simpr 476 . . . . 5 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → 𝐺 ∈ UMGraph)
5 uz2m1nn 11801 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
6 lbfzo0 12547 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
75, 6sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 0 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
98adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
10 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
1311, 12syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 + 1) = 1)
1413fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘1))
159, 14preq12d 4308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘0), (𝑊‘1)})
1615eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 = 0) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
177, 16rspcdv 3343 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
1817com12 32 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
19183ad2ant2 1103 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2019imp 444 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
2120adantr 480 . . . . 5 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
222umgredgne 26085 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘0) ≠ (𝑊‘1))
2322necomd 2878 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑊‘0), (𝑊‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
244, 21, 23syl2anc 694 . . . 4 (((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
2524exp31 629 . . 3 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
263, 25syl 17 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))))
27263imp31 1276 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  cuz 11725  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  UMGraphcumgr 26021   ClWWalksN cclwwlkn 26981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-edg 25985  df-umgr 26023  df-clwwlk 26950  df-clwwlkn 26983
This theorem is referenced by:  umgr2cwwkdifex  27029
  Copyright terms: Public domain W3C validator