MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmss 24371
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmss.t (𝜑𝑇𝑆)
ulmss.a ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑊)
ulmss.u (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmss (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺)
2 ulmss.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 11911 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝑆)
54adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑇𝑆)
6 ssralv 3815 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
8 fvres 6350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
98ad2antll 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝐴𝑇)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
10 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → 𝑥𝑍)
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴𝑊)
1211adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → 𝐴𝑊)
13 resexg 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑊 → (𝐴𝑇) ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (𝐴𝑇) ∈ V)
15 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇)) = (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))
1615fvmpt2 6435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑍 ∧ (𝐴𝑇) ∈ V) → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = (𝐴𝑇))
1710, 14, 16syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = (𝐴𝑇))
1817fveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = ((𝐴𝑇)‘𝑧))
19 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑍𝐴) = (𝑥𝑍𝐴)
2019fvmpt2 6435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑍𝐴𝑊) → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
2110, 12, 20syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = 𝐴)
2221fveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) = (𝐴𝑧))
239, 18, 223eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧))
2423ralrimivva 3120 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧))
25 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧)
26 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑇
27 nffvmpt1 6342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)
28 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧
2927, 28nffv 6341 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧)
30 nffvmpt1 6342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)
3130, 28nffv 6341 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
3229, 31nfeq 2925 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
3326, 32nfral 3094 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)
34 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥) = ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘))
3534fveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧))
36 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥) = ((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘))
3736fveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
3835, 37eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘 → ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)))
3938ralbidv 3135 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ ∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧)))
4025, 33, 39cbvral 3316 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑥)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑥)‘𝑧) ↔ ∀𝑘𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
4124, 40sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑍𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
4241r19.21bi 3081 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
43 fvoveq1 6819 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
4443breq1d 4797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4544ralimi 3101 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑇 (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) → ∀𝑧𝑇 ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
46 ralbi 3216 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑇 ((abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟) → (∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
4742, 45, 463syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
487, 47sylibrd 249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
493, 48sylan2 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5049anassrs 453 . . . . . 6 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5150ralimdva 3111 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5251reximdva 3165 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
5352ralimdv 3112 . . 3 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
54 ulmf 24356 . . . . . 6 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
551, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
56 fdm 6192 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → dom (𝑥𝑍𝐴) = (ℤ𝑚))
5719dmmptss 5774 . . . . . . . 8 dom (𝑥𝑍𝐴) ⊆ 𝑍
5856, 57syl6eqssr 3805 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → (ℤ𝑚) ⊆ 𝑍)
59 uzid 11908 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
6059adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
61 ssel 3746 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑚) ⊆ 𝑍 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑚𝑍))
62 eluzel2 11898 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6362, 2eleq2s 2868 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍𝑀 ∈ ℤ)
6461, 63syl6 35 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑚) ⊆ 𝑍 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑚) → 𝑀 ∈ ℤ))
6560, 64syl5com 31 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑚) ⊆ 𝑍𝑀 ∈ ℤ))
6658, 65syl5 34 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ))
6766rexlimdva 3179 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝑀 ∈ ℤ))
6855, 67mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6911ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐴𝑊)
7019fnmpt 6159 . . . . . 6 (∀𝑥𝑍 𝐴𝑊 → (𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍)
7169, 70syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍)
72 frn 6190 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
7372rexlimivw 3177 . . . . . 6 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑥𝑍𝐴):(ℤ𝑚)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
7455, 73syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
75 df-f 6034 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ ((𝑥𝑍𝐴) Fn 𝑍 ∧ ran (𝑥𝑍𝐴) ⊆ (ℂ ↑𝑚 𝑆)))
7671, 74, 75sylanbrc 572 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍𝐴):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
77 eqidd 2772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧))
78 eqidd 2772 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
79 ulmcl 24355 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
801, 79syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
81 ulmscl 24353 . . . . 5 ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
821, 81syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
832, 68, 76, 77, 78, 80, 82ulm2 24359 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘((((𝑥𝑍𝐴)‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
8419fmpt 6525 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑍 𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑥𝑍𝐴):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8576, 84sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
8685r19.21bi 3081 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
87 elmapi 8035 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → 𝐴:𝑆⟶ℂ)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐴:𝑆⟶ℂ)
894adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝑇𝑆)
9088, 89fssresd 6212 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ)
91 cnex 10223 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
9282, 4ssexd 4940 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ V)
9392adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝑇 ∈ V)
94 elmapg 8026 . . . . . . 7 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → ((𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑇) ↔ (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ))
9591, 93, 94sylancr 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑍) → ((𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑇) ↔ (𝐴𝑇):𝑇⟶ℂ))
9690, 95mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐴𝑇) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑇))
9796fmpttd 6530 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇)):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑇))
98 eqidd 2772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑇)) → (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) = (((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧))
99 fvres 6350 . . . . 5 (𝑧𝑇 → ((𝐺𝑇)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
10099adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑇) → ((𝐺𝑇)‘𝑧) = (𝐺𝑧))
10180, 4fssresd 6212 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑇):𝑇⟶ℂ)
1022, 68, 97, 98, 100, 101, 92ulm2 24359 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑇 (abs‘((((𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))‘𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
10353, 83, 1023imtr4d 283 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑍𝐴)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇)))
1041, 103mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝑍 ↦ (𝐴𝑇))(⇝𝑢𝑇)(𝐺𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  cc 10140   < clt 10280  cmin 10472  cz 11584  cuz 11893  +crp 12035  abscabs 14182  𝑢culm 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-neg 10475  df-z 11585  df-uz 11894  df-ulm 24351
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator