MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmshft 24343
Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmshft.w 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
ulmshft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmshft.k (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
ulmshft.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulmshft.h (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
Assertion
Ref Expression
ulmshft (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝑛,𝑊   𝑛,𝐹   𝑛,𝐾   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ulmshft
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmshft.w . . 3 𝑊 = (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))
3 ulmshft.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 ulmshft.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 ulmshft.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
6 ulmshft.h . . 3 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
71, 2, 3, 4, 5, 6ulmshftlem 24342 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
8 eqid 2760 . . 3 (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾))
93, 4zaddcld 11678 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
104znegcld 11676 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
115adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
123adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
134adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛𝑊)
1514, 2syl6eleq 2849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑊) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
16 eluzsub 11909 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1712, 13, 15, 16syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1syl6eleqr 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝑛𝐾) ∈ 𝑍)
1911, 18ffvelrnd 6523 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
20 eqid 2760 . . . . 5 (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))) = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))
2119, 20fmptd 6548 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
226feq1d 6191 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
2321, 22mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐻:𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
24 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
2524, 1syl6eleq 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
26 eluzelz 11889 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑚 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℤ)
2827zcnd 11675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ ℂ)
294zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
3029adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℂ)
3128, 30subnegd 10591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 − -𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
3231fveq2d 6356 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)))
336adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐻 = (𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾))))
3433fveq1d 6354 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 + 𝐾)) = ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)))
354adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝐾 ∈ ℤ)
36 eluzadd 11908 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3725, 35, 36syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
3837, 2syl6eleqr 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊)
39 oveq1 6820 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾))
4039fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐹‘(𝑛𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
41 fvex 6362 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) ∈ V
4240, 20, 41fvmpt 6444 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 𝐾) ∈ 𝑊 → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4338, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)))
4428, 30pncand 10585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑚 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑚)
4544fveq2d 6356 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹‘((𝑚 + 𝐾) − 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4643, 45eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑛𝑊 ↦ (𝐹‘(𝑛𝐾)))‘(𝑚 + 𝐾)) = (𝐹𝑚))
4732, 34, 463eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐻‘(𝑚 − -𝐾)) = (𝐹𝑚))
4847mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
493zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
5010zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℂ)
5149, 29, 50addassd 10254 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)))
5229negidd 10574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 + -𝐾) = 0)
5352oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + (𝐾 + -𝐾)) = (𝑀 + 0))
5449addid1d 10428 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
5551, 53, 543eqtrd 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐾) + -𝐾) = 𝑀)
5655fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = (ℤ𝑀))
5756, 1syl6eqr 2812 . . . . 5 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) = 𝑍)
5857mpteq1d 4890 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
595feqmptd 6411 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐹𝑚)))
6048, 58, 593eqtr4rd 2805 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑚 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝐾) + -𝐾)) ↦ (𝐻‘(𝑚 − -𝐾))))
612, 8, 9, 10, 23, 60ulmshftlem 24342 . 2 (𝜑 → (𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺))
627, 61impbid 202 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐻(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  cc 10126  0cc0 10128   + caddc 10131  cmin 10458  -cneg 10459  cz 11569  cuz 11879  𝑢culm 24329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-ulm 24330
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24381
  Copyright terms: Public domain W3C validator