MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmres 24361
Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmres.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
ulmres.m (𝜑𝑁𝑍)
ulmres.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 24352 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
2 ulmcl 24354 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
31, 2jca 555 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
5 ulmscl 24352 . . . 4 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
6 ulmcl 24354 . . . 4 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
75, 6jca 555 . . 3 ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ))
87a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)))
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑍)
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10syl6eleq 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
1211adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
13 eluzel2 11904 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1510rexuz3 14307 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
17 eluzelz 11909 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1812, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 ulmres.w . . . . . . . 8 𝑊 = (ℤ𝑁)
2019rexuz3 14307 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2118, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2216, 21bitr4d 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
2322ralbidv 3124 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
24 ulmres.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2524adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
26 eqidd 2761 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
27 eqidd 2761 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
28 simprr 813 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
29 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑆 ∈ V)
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 24358 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
31 uzss 11920 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3212, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3332, 19, 103sstr4g 3787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → 𝑊𝑍)
3425, 33fssresd 6232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹𝑊):𝑊⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
35 fvres 6369 . . . . . . 7 (𝑘𝑊 → ((𝐹𝑊)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3635ad2antrl 766 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑊)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
3736fveq1d 6355 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) ∧ (𝑘𝑊𝑧𝑆)) → (((𝐹𝑊)‘𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
3819, 18, 34, 37, 27, 28, 29ulm2 24358 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → ((𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑊𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑟))
3923, 30, 383bitr4d 300 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ)) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))
4039ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺)))
414, 8, 40pm5.21ndd 368 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ (𝐹𝑊)(⇝𝑢𝑆)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  cc 10146   < clt 10286  cmin 10478  cz 11589  cuz 11899  +crp 12045  abscabs 14193  𝑢culm 24349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900  df-ulm 24350
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24401
  Copyright terms: Public domain W3C validator