MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmi 24360
Description: The uniform limit property. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulm2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulm2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulm2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulm2.b ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
ulm2.a ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
ulmi.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
ulmi.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ulmi (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐹   𝑗,𝐺,𝑘,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧   𝐴,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑧   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ulmi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4790 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
21ralbidv 3135 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
32rexralbidv 3206 . 2 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
4 ulmi.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
5 ulm2.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 ulm2.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 ulm2.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8 ulm2.b . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = 𝐵)
9 ulm2.a . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = 𝐴)
10 ulmcl 24355 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
12 ulmscl 24353 . . . . 5 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
134, 12syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
145, 6, 7, 8, 9, 11, 13ulm2 24359 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
154, 14mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)
16 ulmi.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
173, 15, 16rspcdva 3466 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  cc 10136   < clt 10276  cmin 10468  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  abscabs 14182  𝑢culm 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-neg 10471  df-z 11580  df-uz 11889  df-ulm 24351
This theorem is referenced by:  ulmshftlem  24363  ulmcau  24369  ulmbdd  24372  ulmcn  24373  iblulm  24381  itgulm  24382
  Copyright terms: Public domain W3C validator